la la”岀 am a“七闫a+1, aN 七 va+1,…. 极限知识拓展 【知识拓展】 1 ?若某个数列:an存在极限，即该数列为收敛数列，那么该收敛数列有哪些性质呢? 收敛数列有几个重要性质，它们可表现为下面几 个定理： 定理1：惟一性 若数列 玄收敛,则它的极限是惟一的. 证明：假设数列◎｝有两个极限a与b,即卩 liman 与lima.-b ,根据数列极限定义，对于任意的 n , n_ 0分别有：存在自然数N1,当n N,时，有an-a「； 存在自然数N2，当n N2时，有a「b，：；.取 N=maxk”N2；,当 nN 时，同时有 a”-a 卜:；与 a”-b，：：；, 于是当 nN 时，有 a-b=a-a” ? a” -b_a-a” ? a” -b，： ； ? ； = 2； 因为a与b是常数，2是任意小的正数，所以 只有a=b，上述不等式才能成立，即数列◎啲极 限是惟一的. 定理2:（有界性）若数列式收敛，则玄:有 界，即存在正数 M对任意自然数n有a”_M. 证明：设lim an =a，根据数列极限的定义，取 定.=1 （￡可以根据需要任意选取），存在自然数 N，当 nN 时，有 an-a：：：1.因为 an-a—an -al，所以 当 nN 时，有 an-a_an -a“ 或耳十 1,即 在数列冲不满足不等式an a 1的项充其量不 过是前N项：ag, ,aN.令M = max*ai ,a2 ,…,aN ,a+1}.于 是，对任意自然数n,有a”_M. 定理2指出收敛的数列必有界.反之，有界 数列不一定收敛.例如，已知数列匚-1n :是有界的， 但它却是发散的.换句话说，有界是数列收敛的 必要条件而不是充分条件. 什么是有界数列？ 定义：若存在两个数A，B(设AB)，数列xn 中的每一项都在闭区间［A，B］内，亦即 A ￡X ￡Bn=1,2,，则称:为有界数列.这时A称为 它的下界，B称为它的上界?关于有界数列有下 面几点说明. 如果B是数列乂啲上界，那么B+ 1，B + 2，B+a ( a 0)都是的上界?这表明上界并 不是惟一的，下界也是如此. 对于数列xn\如果存在正整数N,当nN 时，总有A % SB,我们就说数列往后有界?要 注意，往后有界一定是有界的，这是因为在N项 之前只有有限多个数XN?,…,Xn,在这有限个数中必 有最大的数和最小的数，设〉=min x,,x2/ ,x”， :=max Xi,X2, ,Xn )那么 min(A, a )和 max(B, (3)就 是整个数列妆”：的下界和上界. (3)有界数列也可以这样叙述：若存在一个 正数M使得x”_M n =1,2,…，就称■:xn 1是有界数列.或 者也可以这么说，若存在原点O的一个 M邻域0 (O, M),使得所有x「OO,M ,就称妆”；是有界数列， 这种叙述和上面所给出的定义显然是等价的. 什么是单调有界数列？ 设^n ［是一个数列，如果Xi ￡X2 ￡X3「-Xn f,我 们就说这个数列是单调增加 (上升)的?如果 X1 _X2 -X3 -…-Xn -我们就说这个数列是单调减少 (下降)的.例如就是一个单调减少的数列.如 果在上面数列中等号都不成立，就称它是严格单 调增加或严格单调减少的. 4 ?数列的收敛判别法有哪法？ 方法1 ?若存在自然数 N,当nN,总有 an -bn -Cn，且忡玄”=］叩6 =1，贝忡5 =1. ［注：方法1被称为夹挤定理.］ 例1计算 lim n_jpc lim n_jpc 1 1 + ■ +■ M2 +1 Jn2 +2 思路启迪 思路启迪 设Cn2 22亠 亠.n n, 设Cn 2 2 2亠 亠.n n ,只要找到两个数列 使n^a =lim bn n :. =1,则 lim 5 =l. n「 规范解法 一1 一1 —n2 n 一1 — n2 n n2 n c ::- ?… n .n2 1 n2 1 ..n2 1 于是 由 n2 n ：： n2 2n 1 = n 1, 故nmnn2 n疳C 故nm n n2 n 疳Cn 1 ,n2 1 方法2 ?单调有界数列存在极限. 例 2 证明数列，a, .. a . a ； , a . a a； a 0 收 敛，并求它的极限. 思路启迪首先对于这种随n的增大，数列 的项有规律变化的情况可以用数学归纳法证明 该数列单调并且有界.这样该数列必存在极 限?可以设极限为i，则根据第n+1项与第n项 的关系列出关于I的等式就可以求出I. 规范证法 设Sn = .a ? .a ■ ...^ — ? . a ,有 Sn d Sn , 用归纳法证明数列Si是单调增加的，又是有上界 的.显然S ::: S2 ,设Sk Sk 1 （k是自然数）有 a Sk :: a Sk 1 a Sk V Ja ■ Sk 1 ,艮卩 S k 1 ■■- Sk 2 , 则数列En ［是单 调增加的.显然，当n=1时，有Si=、a—a 1 .设 n=k时,有Sk「.a 1 .当 n=k+1时，也有 Sk+ = Ja+Sk c 耳a Za +1 ￡ Ja + 2€a +1 = Ja +1，即数列 Sn｝是有上 界的.由于数s；是单调增加的并且有上界，所以 数则收敛.设limSn =1，已知S： ?! = a Sn ,有 lim S：十=a + lim Sn,即丨2 = a +1 ，彳得 I =1（1 土』1 + 4a ），由 S^ 0 知， I不能是负数，则数列0啲极限是. 1 4a . 5 ?函数极限有哪些性质 和数列极限性质完全相仿，函数极限也具有 以下几个性质： 性质 1 .若 lim f x =A, lim g x =B,，且 AB,则存在 8 0,使当 0：：：x—x°时， f(x)g(x). 证明：取；=A2B,那么存在1 0,当0 ：：：x — Xo卜：、1时， 有fx A—AyB ；同时又存在、2 o ,当0 ：：：x — Xo卜：时， 有 g x ::B； .rAyB ,现在，令“二 min、i,、2 ,那么当 0 ：： x —x° ：： 时，就有 g x :: AyB :: f x TOC \o 1-5 \h \z 性质 2 .若 lim f (x )=A, lim g(x )=B,且存在 8 0,使当 xt 0 ^^0 0 ：：：ix -X。卜:「时,f(x)g(x)，贝V A B. 性质 3 ?若 lim f(x)=A而 AB(AB),则存在 8 0, x^x0 使当 0 町x—x° 卜、时,f(x)B(f(x)B) . 性质 4.若 limfx 二A,limf x 二B,则 A=B?这说明了 X—5x0 丿 函数极限的惟一性. 证明：采用反证法，如果Ah B,不妨设AB, 由性质1知道，存在8 0,当0和“时，有 f(x)f(x) 矛盾，这就证明了 A=B 性质5.若存在8 0,使当0十~卜.时，f(x) g(x) h(x)，并且 lim f x =A, lim h x =A,贝U lim g x = A. x「x° 性质6 .(局部有界性)若limf(x)=A，则存在着 8 0,使得f(x)在区间X0SX0和X0,X0、内有界， 亦即在不等式0 X-Xo 「所表示的区间内有界. [注：若函数f(x)在某个区间Z内满足AW f(x) B,其中A, B是两个常数，我们称f(x) 在Z内有界，并称A是f(x)在Z内的下界，B是 f(x)在Z内的上界.显然，对任何a 0, A- a都 是f(x)的下界，同样对任何3 0, B+B都是f(x) 的上界.这个定义也可以这样叙述：设函数f(x) 在某个区间Z内满足f(x) M其中M是一个 正实数，我们就称f(x)在Z内有界?以上两种 说法显然是等价的.] 证明：取一个固定的，譬如说取 =1，由 limfx=A 知道，存在 3 0，当 0：x-x°,时，有 X―x0 A-1f(x)A+1 ，这就证明了 f(x)在 x°-.,x0 和 X0,X0，内有界. 要注意的是，由极限存在，只能断定函数在 相应的某个去心邻域OX0,「乂。呐有界，而不能断 、 ” 3 定它在整个定义域内有界.例如」，它的定义 X —1 域是(-8，1)和(1，+8)，由前面的例子知道 ^2*3 ?根据性质6，存在某个5 0，在(1- 3， 1)和(1，1+3 )内，J有界.但是这个函数在它 X 1 的定义域内有3X 的定义域内有 3 X -1 2 y X X -1 X 1 X才，它的图形是一条 抛物线.连续函数有哪些性质？ 若函数f(x)和g(x)均在点xo处连续，则函 数 f(x) ± g(x) , f(x) ?g(x) , f(x)/g(x) gx。=o 在 点xo处也连续. 若函数y=f(u)在点Uo处连续，U = X在点Xo连 续，且 xo =Uo ,则复合函数y=fl：:x在点xo连续.若 函数y=f(x)在区间［a，b］上单调、连续，且f(a)= a，f(b)= 3，则其反函数y=f」x在区间［a， 3 ］ 或［3，a ］上单调、连续. 基本初等函数(包括幂函数、三角函数、反 三角函数、指数函数与对数函数)在它们各自的 定义域上皆连续. 由函数在一点Xo处连续的定义及limx=xo，有 lim f x ］=f Xo limx x ?这就是说，对于连续函数，极 X―x
龙门架及井架物料提升机安全技术规范龙门架及井架物料提升机安全技术.pdf
北京市2023-2024学年高一上学期期末考试英语试题（含答案）3.docx
原创力文档创建于2008年，本站为文档C2C交易模式，即用户上传的文档直接分享给其他用户（可下载、阅读），本站只是中间服务平台，本站所有文档下载所得的收益归上传人所有。原创力文档是网络服务平台方，若您的权利被侵害，请发链接和相关诉求至 电线) ，上传者
