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第二章第二章 一元函数的极限与连续一元函数的极限与连续一、概念的引入一、概念的引入二、数列的定义二、数列的定义三、数列的极限三、数列的极限四、数列极限的性质四、数列极限的性质第一节第一节 数列极限数列极限“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”割圆术：割圆术：播放播放刘徽刘徽一、概念的引入正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 边形的面积边形的面积二、数列的定义例如例如(1.1)(1.2)(1.3)(1.4)(1.5)注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取2.数列可以看作自变量为正整数数列可以看作自变量为正整数n的函数，即的函数，即问题问题:当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语如何用数学语言刻划它言刻划它.三、数列的极限如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：几何解释几何解释:其中其中数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1证证所以所以,注意：注意：例例2证证例例3证证四、数列极限的性质1、有界性、有界性例如例如,有界有界无界无界定理定理1 1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.证证由定义由定义,注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散.2、唯一性、唯一性定理定理2 2 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限.证证由定义由定义,故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.例例4证证由定义由定义,区间长度为区间长度为1.不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的区间内的区间内.3、子数列的收敛性、子数列的收敛性注意：注意：例如，例如，定理定理3 3 收敛数列的任一子数列也收敛且极限收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同相同证证证毕证毕由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，发散!则原数列一定发散.说明说明:五、小结数列数列:研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限:极限思想、精确定义、几何意义极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质:有界性、唯一性、子数列的收敛性有界性、唯一性、子数列的收敛性.。
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