1. 本站全部试题类文档，若标题没写含答案，则无答案；标题注明含答案的文档，主观题也可能无答案。请谨慎下单，一旦售出，不予退换。
2. 本站全部PPT文档均不含视频和音频，PPT中出现的音频或视频标识（或文字）仅表示流程，实际无音频或视频文件。请谨慎下单，一旦售出，不予退换。
3. 本页资料《1函数极限概念学习培训模板课件.ppt》由用户（林田）主动上传，其收益全归该用户。163文库仅提供信息存储空间，仅对该用户上传内容的表现方式做保护处理，对上传内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私，请立即通知163文库（点击联系客服），我们立即给予删除！
4. 请根据预览情况，自愿下载本文。本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
5. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007及以上版本和PDF阅读器，压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
如PPT文件的首页显示word图标，表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片，仅作为作品整体效果示例展示，禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
1、1 函数极限概念一、x趋于时的函数极限二、x趋于x0 时的函数极限三、单侧极限 在本章,我们将讨论函数极限的基本联系,它们之间的纽带就是归结原理.函数极限与数列极限之间有着密切的概念和重要性质.作为数列极限的推广,一、x趋于时的函数极限设函数设函数定义在定义在)(xf ,aA)(xfxyO极限极限.f(x)当当 x 趋于趋于 时以时以A为为也无限地接近也无限地接近A,我们就称我们就称无限远离原点时无限远离原点时,函数函数f(x)上上,当当 x 沿着沿着 x 轴的正向轴的正向x趋于趋于例如例如 函数函数,arctan xy 当当时时,xy210203040O0.51为极限为极限.以以xarcta
2、n2记为记为或者或者lim()xf xA ).()(xAxf定数定数,若对于任意正数若对于任意正数 存在存在 使得使得，0 ，)(aM ,)(AxfAxxf时时以以趋趋于于当当 )(则称函数则称函数.为极限为极限,时时Mx 当定义定义1 .,上上的的一一个个函函数数为为定定义义在在设设 afA 为为()Af xA 有有 lim()xf xA的的几几何何意意义义xM使使当当时时xA A 任意给定任意给定0 M存在存在Ma AxyOa()Af xA 有有 lim()xf xA的的几几何何意意义义xM使使当当时时xA A 任意给定任意给定0 M存在存在Ma xAyOa注注 数列可视为定义在正整数集上
3、的函数数列可视为定义在正整数集上的函数.请大家请大家所以所以(由定义由定义1),例例1 证明证明.01limxx 任给任给取取证证,0 ,1 M,时时当当Mx ,10)(xxf.01limxx与不同点与不同点.比较数列极限定义与函数极限定义之间的相同点比较数列极限定义与函数极限定义之间的相同点例例2.2arctanlim xx证证明明证证 任给任给),2(0 ).2tan(M取取这就是说这就是说lim arctan.2xx 时时，当当Mx 严严格格增增，因因为为xarctan()arctan22f xx().22,)(Axf定义定义2 ,)(上上定定义义在在设设bxf .是是一一个个常常数数A
4、,0 ,0 M存在存在()xMb 当当时时若若对对于于任任意意记为记为Axxf时时以以当当 )(,为为极极限限则称则称Axfx )(lim或或).()(xAxf为为极极限限，时时以以当当则则称称Axxf)(记为记为,)(Axf定义定义3A,)()(内内的的某某个个邻邻域域定定义义在在设设 Uxf存在存在 当当，0 M,0 .为为一一个个常常数数若若对对于于任任意意xM 时Axfx )(lim或或).()(xAxf证证 对于任意正数对于任意正数),10(,ln M取取lnx 当当时时 这就是说这就是说例例3 求证求证lim e0.xx .e0e xx.0elim xx例例4 求证求证.011li
5、m2xx22110,1xx 所以结论成立所以结论成立.,1 M有有时时当当,Mx 证证 对于任意正数对于任意正数 ,可取可取从定义从定义1、2、3 不难得到不难得到:.)(lim)(limAxfxfxx 定理定理 3.1 定义在定义在则则的的一一个个邻邻域域内内，)(xfxxarctanlim 则由定理则由定理 3.1，.不存在不存在Axfx )(lim的充要条件是：的充要条件是：lim arctan,lim arctan,22xxxx 例如例如二、x趋于x0 时的函数极限设函数设函数 f(x)在点在点 x0 的某空心邻域的某空心邻域 内有定义内有定义.)(0 xU,数数,)(),(0时时当当
6、xUxUx ,)(Axf定义定义4)(xf设设内有内有)(xU的的某某空空心心邻邻域域0 x在点在点,如如果果对对于于任任意意正正数数定义，定义，.是是一一个个常常数数A存存在在正正为极限的定义为极限的定义.下面我们直接给出函数下面我们直接给出函数 f(x)时以常数时以常数 A0 xx 当当或者或者0lim()xxf xA.)()(0 xxAxf.)(0为为极极限限时时以以当当Axxxf记为记为则称则称例例5证明证明.221121lim1 xxx时时,使使,对于任意正数对于任意正数,0 要要找找到到10 x当当分析分析1211112 2122 2xxx 因因211,2 2(12)xxx只要
8、有,时时例例7 求证：求证：00(1)lim sinsin;xxxx 注注 在例在例5、例、例6中中,我们将所考虑的式子适当放大我们将所考虑的式子适当放大,不是不是“最佳最佳”的的,但这不影响我们解题的有效性但这不影响我们解题的有效性.其目的就是为了更简洁地求出其目的就是为了更简洁地求出 ,或许所求出的或许所求出的 00(2)limcoscos.xxxx 证证 首先，在首先，在右图所示的单位圆内右图所示的单位圆内,0,2x 当当时时显然有显然有即即,OABOADOADSSS 扇形扇形,tan2121sin21xxx 故故sintan0.2xxxxOCDBAyxx.0 时成立时成立上式中的等号仅
10、了所需的结论这就证明了所需的结论.0202,1xxx 在上面例题中在上面例题中,需要注意以下几点：需要注意以下几点：,我们强调其存在性我们强调其存在性.换句话说换句话说,对于对于固定固定 1.对于对于 的的,不同的方法会得出不同的不同的方法会得出不同的 ,不存在哪一个更不存在哪一个更好的问题好的问题.数数都可以充当这个角色都可以充当这个角色.3.正数正数 是任意的是任意的,一旦给出一旦给出,它就是确定的常数它就是确定的常数.,那么比它那么比它更小的正更小的正是不惟一的是不惟一的,一旦求出了一旦求出了 .2有时为了方便有时为了方便,需要让需要让 小于某个正数小于某个正数.一旦对这一旦对这为贵为
11、贵”.当然也能满足要求当然也能满足要求.所以我们有时戏称所以我们有时戏称 “以小以小样的样的 能找到相应的能找到相应的 ,那么比它大的那么比它大的 ,这个这个 平面上以平面上以 y=A为中心线为中心线,宽为宽为 的窄带的窄带,2可可以找到以找到,0 使得曲线段使得曲线.函数极限的几何意义如图函数极限的几何意义如图,0,任任给给对于对于坐标坐标落在窄带内落在窄带内.AyAy AyOxy 0 x0 x 0 x三、单侧极限，时时在考虑在考虑)(lim0 xfxxx 既可以从既可以从 x0)(0 xx 的的左左侧侧 但在某些时但在某些时.)(000 xxxx趋趋向向于
12、于的的右右侧侧又又可可以以从从 定义定义5,),(),()(00有定义有定义在在设设 xUxUxf A为常为常数数.若对于任意正数若对于任意正数 ,）（存存在在正正数数 在定义区间的端点和分段函数的分界点等在定义区间的端点和分段函数的分界点等.候候,我们仅需我们仅需(仅能仅能)在在 x0的某一侧来考虑的某一侧来考虑,比如函数比如函数,f xA（）（）则称则称 A 为函数为函数 f 当当00()xxxx 时的右时的右(左左).)(lim()(lim00AxfAxfxxxx 右极限与左极限统称为单侧极限右极限与左极限统称为单侧极限,为了方便起见，为了方便起见，).(lim)0(,)(lim)0(
14、(lim0的的充充要要条条件件是是Axfxx,1sgnlim,1sgnlim00 xxxx由由于于xxsgnlim0所以所以不存在不存在.作为本节的结束作为本节的结束,我们来介绍两个特殊的函数极限我们来介绍两个特殊的函数极限.例例9 证明狄利克雷函数证明狄利克雷函数 无理数无理数，有理数有理数xxxD0,1)(证证 001R,.2xA 对对于于任任意意的的以以及及任任意意实实数数取取处处无极限处处无极限.,00*xx,QR,21,0*xA取取若若对对于于任任意意的的 满足满足.21)(0*AAxD*01,Q,0,2Axxx若若取取满满足足则则.211)(0*AAxD这就证明了
15、结论这就证明了结论.则则例例10 设黎曼函数设黎曼函数.1,0,0,1),(,1)(无理数以及无理数以及xqpqpxqxR00:(0,1),lim()0.xxxR x 求求证证证证.10 NN，使使，取取一一正正整整数数因为在因为在(0,1)中分母小于中分母小于 N 的有理数至多只有的有理数至多只有.)(,21Knxxxn 个个,故可设这些有理数为故可设这些有理数为2)1(NNK这就是说，除了这这就是说，除了这 n 个点外个点外,其他点的函数值都其他点的函数值都,)1(010inxxxxx 可可设设中中的的某某一一个个是是若若.min,)2(0110 xxxxxknkn 则则令令若若时，时，当当于是于是0,0 xx对以上两种情形都有对以上两种情形都有.0)(xR这就证明了这就证明了.0)(lim0 xRxx；令令则则min0,1xxkiknk 小于小于 .所以所以我们已经知道，狄利克雷函数在每点都无极限我们已经知道，狄利克雷函数在每点都无极限.能能注注 有兴趣的同学可以证明：有兴趣的同学可以证明：.0)(lim)(lim10 xRxRxx复习思考题否构造一个函数，它仅在否构造一个函数，它仅在 处有极限处有极限.nxxx,21
